Een stelsel van vergelijkingen zijn meerdere vergelijkingen die je samen kunt oplossen. Zo een stelsel kunnen we op meerdere manieren oplossen. We gebruiken vooral de schoorsteen methode en de substitutie methode. Ons doel bij beide methodes is om een vergelijking te krijgen met maar 1 variabele. We kunnen die dan oplossen, en daarme achter de andere variabele komen. Ons doel met de schoorsteen methode is dus om maar 1 variabele over te houden. We doen dit door de vergelijkingen bij elkaar op te tellen of van elkaar af te trekken. Vaak moeten we nog één of beide vergelijkingen vermenigvuldigen met een bepaald getal. Dit doen we zodat als we optellen of aftrekken, we maar 1 variabele overhouden.
Vind je dit nog een beetje vaag? Stel we gaan naar de supermarkt om wat appels en bananen te kopen. En we zien daar twee verschillende aanbiedingen. We hebben 3 appels (a) en 3 bananen (b) voor €12 en 1 appel en 4 bananen voor €10. Hoeveel kost een appel? Dit kunnen we oplossen met behulp van de schoorsteen methode. We doen dan beide vergelijkingen keer een bepaald getal en dan min elkaar. Ons doel is om een vergelijking over te houden die maar 1 variabele heeft. Nu kunnen we de bovenste min de onderste vergelijking doen.
\[\begin{array}{l l} \left\{ \begin{array}{ l l l } 3a + 3b = \large \textrm{€} \normalsize 12 & \quad |1| \\ 3a + 12b = \large \textrm{€} \normalsize 30 & \quad |3| \\ \hline -9b = - \large \textrm{€} \normalsize 18 \end{array} \right. \end{array}\]
We hebben nu dus a weggewerkt en houden een vergelijking over met alleen b. Die kunnen we nu gaan oplossen. 1 banaan kost dus €2. Nu kunnen we ook berekenen hoe duur een appel is. We vullen de prijs van een banaan in bij een van de twee vergelijkingen. Het maakt verder niet uit welke vergelijking je kiest, bij beide kom je op hetzelfde antwoord. We beginnen met de onderste vergelijking keer 3 te doen om de y weg te werken. We hadden er trouwens ook net zo goed voor kunnen kiezen om de x weg te werken. We tellen daarna de twee vergelijkingen bij elkaar op zodat de y wegvalt.
\[\large{\left\{ \begin{array}{ l l } 4x + 6y = 14 & \quad |1| \\ 8x - 3y = 3 & \quad |2| \end{array} \right. \Longrightarrow \begin{array}{ l l } \left\{ \begin{array}{ l l l } 4x + 6y = 14 \\ 16x - 6y = 6 \\ \hline 20x = 20 \end{array} \right. We kunnen nu y bepalen door deze x-waarde in een van de twee vergelijkingen te stoppen. We beginnen met de bovenste vergelijking keer 2 te doen. We kunnen dan beide vergelijkingen bij elkaar optellen om de q weg te werken.
\[\large{\left\{ \begin{array}{ c c } p + q = 1 & \quad |2| \\ 2p - 2q = 4 & \quad |1| \end{array} \right. \Longrightarrow \begin{array}{ l l } \left\{ \begin{array}{ l l l } 2p + 2q = 2 \\ 2p - 2q = 4 \\ \hline 4p = 6 \end{array} \right.} \]
Nu kunnen we p invullen in een van de twee vergelijkingen om q te berekenen. We beginnen met de bovenste vergelijking te vermenigvuldigen met 3 en de onderste met 10.
\[\large{\left\{ \begin{array}{ l l } 30n + 40m = 50 & \quad |\hphantom{1}3| \\ -2n + 12m = 4 & \quad |10| \end{array} \right. \Longrightarrow \begin{array}{ l l } \left\{ \begin{array}{ l l l } 90n + 120m = 150 \\ -20n + 120m = 40 \\ \hline 110n = 110 \end{array} \right.} We kunnen deze n nu invullen in een van de twee vergelijkingen en m bepalen.
Bij de substitutie methode substitueren we een variabele voor een andere. Dit betekent dat we een variabele vervangen voor een vergelijking met de andere variabele. Op deze manier creëren we ook een vergelijking met maar 1 variabele. We schrijven in dit geval de onderste vergelijking om door aan beide kanten −4b te doen. We vervangen nu de a in de bovenste vergelijking voor deze 10 − 4b. We beginnen met een van de twee vergelijkingen omschrijven en 1 variabele vrijmaken. We beginnen met de onderste vergelijking omschrijven om x vrij te maken. We beginnen weer met het omschrijven van een vergelijking om 1 variabele vrij te maken.
Deelsommen kunnen soms best lastig zijn om op te lossen. Door middel van een staartdeling kun je een lastige deelsom zonder rekenmachine uitrekenen. In dit artikel wordt het staartdelen uitgelegd op een manier die tegenwoordig vrijwel niet meer wordt toegepast in het Nederlandse basisonderwijs. Dit is echter een manier die bij veel volwassenen nog bekend is. Op een hele grote middelbare school zitten 7.848 kinderen. Iedereen gaat op kamp. De som die je moet berekenen, is 7848 : 12 =. In het stappenplan hieronder lees je hoe je dit kunt oplossen met Staartdelen. Schrijf als eerste de som op tussen schuine strepen. Je moet delen door 12, dus maak je een hulprijtje van de tafel van 12. Hierdoor wordt het gemakkelijker om getallen te kiezen, waardoor je kunt delen. Ken je de tafel van 12 goed uit je hoofd?
- Begin bij de staartdeling aan de linkerkant. Hoevaak past 12 in 7? Dit kan niet, dus kijk je naar de eerste twee getallen. Hoevaak past 12 in 78? In het hulprijtje zie je dat 12 zeker 6 keer in 78 past. 6 x 12 = 72. Neem altijd een zo groot mogelijke stap!
- Het antwoord haal je van de 78 af. 2. Hoevaak past 12 in 6? Dit kan niet, dus haal je het volgende getal erbij. 3. In het hulprijtje zie je dat 12 zeker 5 keer in 64 past. 5 x 12 = 60. Haal dit getal er vervolgens weer af. 4. Hoevaak past 12 in 4? Dit kan niet, dus haal je weer het volgende getal erbij. 5. In het hulprijtje zie je dat 12 precies 4 keer in 48 past. 12 x 4 = 48.
- Begin aan de linkerkant. Vraag jezelf bij ieder getal af hoevaak de deler daar in past. Kan dit niet? Deel net zo lang, tot je niets (0) meer hebt. Tegenwoordig zijn er zoveel foefjes en trucjes om te leren rekenen.
En zo gaat de staartdeling verder: altijd begin bij de linkerkant, kijk hoeveel keer de deler past in het huidige getal, trek af, en zet een volgende digit erbij. Soms past het getal waardoor je deelt niet in het getal onder de aftrekstreep, dan voeg je een 0 toe. Als aan het eind een rest overblijft, is er sprake van een rest. Met de traditionele staartdeling kun je eenvoudig decimalen achter de komma uitrekenen door steeds nullen achter de komma te schijven. Sinds de invoering van het realistisch rekenen wordt op veel scholen de traditionele staartdeling soms vervangen door de hapmethode, maar beide methoden delen hetzelfde principe: optellen, aftrekken en schalen met machten van tien.
De hapmethode wordt ook wel “kolomsgewijs delen”, “er naar toe vermenigvuldigen” of “herhaald aftrekken” genoemd. Bij deze methode wordt steeds een zo groot mogelijk hap van het te delen getal genomen en dit deel eraf gehaald, waarna opnieuw geprobeerd wordt een hap te nemen. De rest blijft hetzelfde als bij de staartdeling. De hapmethode biedt flexibiliteit doordat je vrij bent in het kiezen van de veelvouden, waardoor de uitvoer langer of korter kan zijn. Sinds 2010 wordt de klassieke staartdeling weer aangeboden in rekenmethodes zoals Re ken Zeker en De wereld in getallen. De staartdeling kan gerekend worden tot de kenmerken van het functioneel rekenen. Deze methode kan geïllustreerd worden met het bovenstaande voorbeeld: 135 : 11. Er moeten dus berekend worden hoe vaak 11 van 135 kan worden afgetrokken. Het is gemakkelijk in te zien dat in ieder geval 10 keer 11, dus 110, afgetrokken kan worden. Er blijft 25 over. Nog 2 keer 11 past in 25, dus 2. De totale quotiënt is 12.
Beide methoden leveren uiteindelijk dezelfde resultaten op, en de keuze voor de methode kan afhankelijk zijn van de context en de leerstijl van de leerling. De staartdeling blijft een belangrijke bouwsteen in het onderwijs van rekenen, terwijl de hapmethode meer nadruk legt op distributieve eigenschap en herhaald aftrekken. Een staartdeling is een algoritme om (op papier) een deling uit te voeren en maakt gebruik van de eigenschappen van een positiestelsel. In het Nederlandse basisonderwijs worden naast de staartdeling ook andere algoritmes gebruikt om het delen aan te leren, zoals het happendelen of happen volgens het realistisch rekenen. Die gaan veel duidelijker uit van herhaald optellen, maar missen de heldere systematiek van de staartdeling.
Een staartdeling kan ook gebruikt worden voor de deling van een polynoom door een andere. Behalve door mensen wordt het staartdelingsalgoritme ook door computers gebruikt. Eenvoudige processoren, zoals de MOS 6502, hebben geen deelinstructie. In de Pentium werd een variant op het staartdelingsalgoritme toegepast; in plaats van aan de rechterkant alleen positieve cijfers te schrijven kon de Pentium daar ook negatieve cijfers zetten. De methode met negatieve cijfers geeft echter niet altijd het goede antwoord. De hapmethode leert delen door het nemen van de grootste mogelijke hap en vervolgens aftrekken, wat leidt tot een transparanter, maar soms minder efficiënt notatiesysteem aan het begin van het leerproces.
Samenvattend geeft de staartdeling een gestructureerde aanpak om delingen uit te voeren met hele getallen en biedt de hapmethode een alternatief dat beter aansluit bij het realistisch rekenen. Beide methoden kunnen worden ondersteund met voorbeelden uit het dagelijks leven en met illustraties, zodat leerlingen inzicht krijgen in het vermenigvuldigen en delen als omgekeerde operaties. De staartdeling blijft daarom een waardevol leerinstrument naast de hapmethode en andere moderne benaderingen in het basisonderwijs.
How to Convert Video to MP4 online
In het vervolg kan men oefenen met staartdelingen met verschillende delers en deeltallen, en spiegelende toepassingen in de algebra, zoals het oplossen van eenvoudige systemen waarin een variabele wegvalt door combinatie van vergelijkingen. Door de combinatie van staartdeling en substitutie leren studenten dat een stelsel uiteindelijk kan worden herleid tot één variabele en dat daarmee de oorspronkelijke variabelen bepaald kunnen worden.
tags: #schoorsteen #methode #wiskunde